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Information tutoriel

  • Ajouté le: avril 14 2016 05:53
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Trigonométrie

Posté par Harry on avril 14 2016 05:53
Bonjour, ce tutoriel est plus une liste de formules très utiles en robotique qu'un vrai tutoriel, mais il peut être très efficace de l'avoir à portée de main...

Voici le cercle trigonométrique, son rayon étant pris égal à 1 :

Image IPB


Image IPB Sur le cercle est positionné l'angle que fait le vecteur OA avec l'horizontale : on l'appelle alpha.

Vous remarquerez que l'angle entre OB et AB est 90° : OAB est donc rectangle en B. Prenons ce triangle rectangle.

On pose trois fonctions indispensables en mathématiques que sont cosinus, sinus et tangente, qui sont écrits, si alpha est un angle : cos(alpha), sin(alpha) et tan(alpha)

Ils sont définis par (à connaître par coeur avec le schéma qui va avec) :
cos(alpha) = côté adjacent / hypoténuse
sin(alpha) = côté opposé / hypoténuse
tan(alpha) = côté opposé / côté adjacent


sachant que dans le triangle rectangle OAB :
côté adjacent = OB
côté opposé = BA
hypoténuse = OA

alors on obtient (à connaître par coeur avec le schéma qui va avec) :
cos(alpha) = OB/OA
sin(alpha) = BA/OA
tan(alpha) = BA/OB


Image IPB

Image IPB Un symbole bizarre (en jaune) est introduit sur le schéma : il s'appelle PI et vaut environ 3,1415... (le nombre de chiffre après la virgule est infini).
L'unité utilisé en trigonométrie pour les angles n'est pas le degré (noté °), mais le radian (noté rad)
Ainsi, PI rad = 180°


Image IPB Le cosinus de l'angle fait entre OA et l'horizontale se trouve en projetant A sur l'horizontale (soit B ce point). Son sinus est trouvé en projetant A sur la verticale (soit C ce point). Certaines valeurs de cosinus et de sinus sont à connaître par cœur :


Image IPBcos (0) = sin(PI/2) = 1
cos(PI/6) = sin(PI/3) = racine(3)/2
cos(PI/4) = sin(PI/4) = racine(2)/2
cos(PI/3) = sin(PI/6) = 1/2
cos(PI/2) = sin ( 0 ) = 0


Image IPBExercice : trouver la valeur des tangentes de ces nombres

Image IPBOn remarque que sin(alpha)/cos(alpha) = tan(alpha) (il suffit d'écrire la relation avec les longueurs pour s'en convaincre). Ainsi, connaissant les valeurs de sin(alpha) et cos(alpha) on retrouve les valeurs facilement.

tan(0) = 0
tan(PI/6) = 1/racine(3)
tan(PI/4) = 1
tan(PI/3) = racine(3)
tan(PI/2) = l'infini



Vous devez retrouver l'équivalent des angles mis sur le schéma suivant, et les connaître par cœur, et savoir les positionner sans problème sur le cercle trigonométrique, ainsi que leurs cosinus, sinus et tangente :

Image IPB

Un sens positif et un sens négatif sont indiqués : en réalité l'angle en radian n'est pas un angle simple. Il est dit "algébrique" car il peut être négatif comme positif. Cela a donc une conséquence sur les valeurs des sinus et des cosinus. En clair, il faut savoir refaire le schéma précédent par cœur.


Formules trigonométriques à savoir - si on prend "a" et "b" deux angles algébriques :

sin(-a) = -sin(a)
cos(-a) = cos(a)
cos (a + B ) = cos(a).cos( B ) - sin(a).sin( B )
sin (a + B ) = sin(a).cos( B ) + cos(a).sin( B )
cos²(a) + sin²(a) = 1
cos(2a) = cos²(a) - sin²(a) = 2.cos²(a) - 1 = 1 - 2.sin²(a) (à savoir retrouver)
sin(2a) = 2.sin(a).cos(a) (à savoir retrouver)


Formules à savoir retrouver (ça peut faire d'excellents exercices) :
cos( PI/2 - a ) = sin(a)
sin( PI/2 - a ) = cos(a)
cos( PI/2 + a ) = sin(a)
sin( PI/2 + a ) = -cos(a)
cos( PI - a ) = -cos(a)
sin( PI - a ) = sin(a)
cos( PI + a ) = -cos(a)
sin( PI + a ) = -sin(a)
cos( a - B ) = cos(a).cos( B ) + sin(a).sin( B )
sin( a - B ) = sin(a).cos( B ) - sin( B ).cos(a)


Très utiles à savoir retrouver :

Image IPB

Formule à utiliser quand vous en aurez besoin :

Image IPB

Loi des sinus : formule valable pour un triangle quelconque ABC(en prenant A, B et C les angles et a, b, c leurs côtés opposés respectifs)

a/sin(A) = b/sin( B ) = c/sin( C ) = 2R


Enfin, loi des cosinus (ou loi d'Al-kashi) : des formules qui donne des relations entre le cosinus d'un angle et les longueurs d'un triangle quelconque ! Extrêmement utile en robotique pour effectuer des calculs sans utiliser des librairies lourdes pour un pic pour calculer des relations particulières :

a² = b² + c² - 2b.c.cos A ==> On en déduit la valeur de cos A
b² = c² + a² - 2c.a.cos B ==> On en déduit la valeur de cos B
c² = a² + b² - 2a.b.cos C ==> On en déduit la valeur de cos C


Voilà, j'espère que cette liste de formules vous sera utile.