La pratique des figures de Lissajous.

Lissajous le retour.

J’avoue sans détour que ces petits tortillons sur l’écran graphiques présentent à mes yeux une apparence artistique peu courante quand on caracole dans nos activités d’électronique ludique. Je ne résiste pas au plaisir de vous en faire torsader deux ou trois, pour le « fun ». Ceci étant précisé, cette technique

n’a strictement rien d’un jeu. Caler deux oscillateurs exactement sur la même fréquence ou sur des multiples avec précision, évaluer des déphasages, une grande variété d’applications sérieuses trouvent dans cette approche le chemin le plus facile. À nous les scoubidous électroniques …
RESET puis sélection dans le MENU de base du Traceur X / Y. Immédiatement la configuration est optimisée pour brancher directement l’une des deux sorties SINUS sur la déviation verticale Y. En plaçant le potentiomètre de NIVEAU aux trois quarts, la déviation verticale est d’amplitude correcte et bien centrée. Nous allons maintenant injecter sur l’entrée X un signal pour engendrer un déplacement horizontal. Les plus riches vont, ça va sans dire, utiliser un autre générateur sinusoïdal, mais vous ne devez pas être nombreux dans ce cas. Aussi, comme rabâché trop souvent dans ces didacticiels, un petit transformateur secteur abaisseur de tension traine forcément sur vos étagères. S’il fournit une tension efficace inférieure à 12V~ vous pouvez directement brancher le secondaire sur le potentiomètre repéré P sur la Fig.89, dans le cas contraire insérez une résistance de forte valeur en R et diminuez ensuite cette dernière pour obtenir une tension correcte. Comme Amplif. permet de superposer une tension continue, centrez la déviation horizontale avec le bouton OFFSET. L’amplitude de la trace en largeur sera calibrée en agissant sur le GAIN et sur l’importance de l’onde alternative fournie par P. On arrive rapidement à un résultat analogue à celui de la Fig.90 pour laquelle la PAUSE a été armée. Le signal étalon en vertical est de 150Hz par défaut. Trois alternances en vertical pour un seul balayage horizontal. On en déduit que sur X la fréquence de l’onde est de 150 / 3 = 50Hz. Vous vous en doutiez un peu puisque le réseau est réputé vibrer sagement et inlassablement à cette cadence.

INTERPRETER LES FIGURES DE LISSAJOUS.

Annoncer dans l’introduction de cette page que ce domaine restait avant tout une artistique activité n’est à franchement parler une affirmation pas objective pour un sou. C’est plus de la « com » politique, de la promotion publicitaire, qu’une vérité intrinsèque. La richesse d’informations que l’on peut déduire de cette technique d’utilisation d’un traceur graphique en coordonnées rectangulaires est considérable. Quelques petits détails de base vont se révéler par la suite des outils incontournables. Par exemple sur la Fig.90 les deux ondes sont en quadratures. Comme elles ne sont pas des multiples rigoureux, l’image se déforme lentement ou rapidement en fonction de la différence de période. Sans rien changer à la configuration, au bout d’un moment l’écran devient celui de la Fig.91 où les deux ondes seraient plus en opposition de phase, encore que si les fréquences en X et Y ne sont pas identiques, ce vocable n’a pas trop de sens. Aussi, pour préciser les choses, on va changer la période de l’onde de référence fournie par notre générateur, car je doute fort que le grand chef chef chef du réseau électrique 220V∼ accepte notre demande de modifier le 50Hz !

C’est précisément dans le but de vous proposer ces petits exercices amusants que le logiciel de PICOSYNTHÉ a été complété pour pouvoir en option modifier le signal SINUS à notre guise. C’est la tension continue comprise entre zéro et +5Vcc appliquée sur A4 l’entrée analogique disponible en F.E. qui sert à changer la fréquence de l’onde de référence. Donc, vous farfouillez dans vos tiroirs pour dégoter un quelconque potentiomètre dont la valeur sera comprise entre 4,7kΩ et 50kΩ et vous en branchez les extrémités entre GND et +5Vcc .

Encore un petit fil qui va du curseur à A4 et le tour est joué. (Il vaut mieux refermer le coffret de la télé tout de suite avant que ça ne se voit !)
À partir d’ici, quand on ouvre la page des options avec le bouton FC+ court, on peut librement changer la fréquence de l’onde de référence disponible sur l’une des deux sortie SINUS. Pour commencer notre petite étude, tournez le bouton pour porter l’entrée A4 au potentiel de GND. Sans avoir à finasser, un effet de butée informatique impose une consigne d’exactement 25Hz, c’est à dire la moitié des 50Hz du secteur. La Fig.92 est caractéristique de ce que l’on obtient quand les deux ondes sont au diapason. Comme elles ne sont pas en harmoniques parfaites, le dessin se tortille lentement pour aboutir à la Fig.93 représentative d’un genre d’opposition de phase. Le plus significatif, c’est que pendant une alternance verticale, nous avons deux oscillations horizontales. Donc la fréquence verticale est deux fois plus faible que la référence horizontale soit 50Hz / 2 = 25Hz. Pour caler un oscillateur sur la moitié de « la référence », il faut ajuster son élément variable jusqu’à avoir un graphe compris entre ceux des deux figures ci-contre. Nous allons apprendre maintenant à interpréter les déphasages qui existent entre deux ondes, il faut opter pour une fréquence de 50Hz sur le synthétiseur. Vous allez vous apercevoir qu’il faut se montrer minutieux sur le bouton du potentiomètre, car nous quittons la butée informatique. La fréquence est donc calculée comme une proportion linéaire entre 0 et 5 transposé de 25 à 250. Soyez patient et ajustez la consigne à exactement 50Hz. Le résultat va alors se transformer entre les divers cas caractéristiques présentés sur les Fig.94, Fig.95 et Fig.96 avec une déformation très lente si le secteur 220V~ et notre signal de référence sont tous les deux proches du 50Hz prévu, ce qui normalement sera le cas. Observez attentivement l’image. Quand elle passe par un aspect caractéristique comme en Fig.94 par exemple, chronométrer avec un dispositif quelconque. Attendre que la déformation du graphe revienne lentement à la morphologie initiale et stoppez le comptage. Si vous avez une durée de 28 secondes, vous pouvez affirmer que la différence de fréquence entre les deux ondes et de 1 / 28 = 0,036Hz. Cette affirmation reste valide quelle que soit la fréquence des deux signaux. Il devient ainsi possible d’ajuster un oscillateur avec une précision considérable, et ce à des fréquences aussi élevées que l’on veut. La seule limite, c’est la bande passante du traceur X/Y. Donc, si un jour vous trouvez un oscilloscope cathodique poussiéreux dans un grenier, récupérez-le avec respect.

Strictement sans aucun risque de se tromper, quand le dessin admet l’allure d’une droite qui « monte à droite, comme sur la Fig.95, on peut affirmer que les deux signaux périodiques sinusoïdaux sont en phase. C’est assez facile à comprendre. Au centre ils sont nuls simultanément. Ensuite, quand l’un devient de plus en plus positif, l’autre aussi. Enfin, comme la trace cartésienne est une droite, l’un est en permanence proportionnel à l’autre. Raisonnement identique quand la tension diminue pour aller vers les alternances négatives, qui sont ici « masquées » par la tension d’OFFSET ajoutée pour que les signaux soient compatibles avec les deux C.A.N. Par une logique analogue, on arrive rapidement à la conclusion que sur la Fig.96, quand la tension augmente positivement sur l’une des deux voies, elle « augmente » négativement sur l’autre. Le graphe étant une droite, il y a proportionnalité et les deux ondes sont en opposition de phase. La Fig.94 est pratiquement aussi simple à interpréter. Quand sur X le signal passe à zéro, la trace est centrée horizontalement. On observe que sur Y la déviation est alors maximale. Réciproquement, quand sur Y le signal « s’annule » et que la déviation verticale se centre, alors sur X on est au maximum à droite ou à gauche. Par définition, dans un tel cas, on dit qu’elles sont en quadrature, car le déphasage est alors de ± 90°. Cette notion n’est valide que si les deux signaux sont de fréquences identiques ou vraiment très proches, car dans le cas contraire le déphasage évolue trop rapidement.

Pour compléter ce chapitre sur la déformation cyclique des figures de Lissajous, optez pour une fréquence la plus proche possible du 50Hz. Avec l’AD9850 on ne peut pas programmer des fractions de Hz, donc imposez exactement  51Hz. Nous pouvons en déduire qu’une phase de « déformation » complète va prendre une seconde. Observez avec attention la danse des pixels sur l’écran. En comptant les secondes mentalement, vous allez pouvoir vérifier que l’image présente bien une rotation durant cet intervalle particulier. Le beau collier de perles de la Fig.97 contient d’autres informations discrètes relatives au logiciel qui anime l’ATmega328. Ces observations ne vont pas bouleverser notre façon d’employer PICOSYNTHÉ, toutefois elles contribuent à mieux maitriser notre appareil, et forcément un jour ou l’autre elles serviront à extraire des paramètres cachés. L’image affichée à l’écran contient environ cinq boucles correspondant chacune à une alternance complète du signal sur X ou sur Y. On peut en déduire que la durée d’échantillonnage pour la totalité des mesures est de 20mS la période secteur multiplié par cinq. Un échantillonnage complet exige donc 100mS.
Lorsque vous analysez en détail le programme P32_LISSAJOUS.ino vous pouvez en déduire qu’il y a un rafraichissement d’écran toutes les 200 mesures donnant chacune un point allumé sur l’afficheur OLED. Le collier de la Fig.97 contient donc 200 perles. Entre chaque mesure, le logiciel a mis du temps pour traiter les deux valeurs numérisées sur X et sur Y. C’est la raison pour laquelle la trace n’est pas continue, et présente une apparence pointillée. On peut facilement déduire le temps mis par le programme pour enchaîner deux échantillonnages :
T = 100mS / 200 = 0,5mS soit 500µS. On retiendra de ces diverses petites observations que Traceur X / Y constitue un moyen précis pour mesurer des intervalles temporels.

REMARQUE : Les diverses manipulations effectuées ont montré que le réseau électrique 50Hz étant pris en référence, nos courbes se tortillent plus ou moins lentement sur l’écran. Piloté par quarts et compensé en température, l’oscillateur de l’AD9850 est très précis, bien plus que la référence du secteur 220V~. Il ne faut pas perdre de vue que l’intégralité des alternateurs de la Nation sont synchronisés à la cadence du réseau. On n’en modifie pas la vitesse de rotation aussi facilement que celle du moteur de notre véhicule automobile. La rotation de cette multitude considérable de machines fluctue très lentement au cours du temps. Par moment un soupçon trop rapide, par moment un fifrelin trop lente. Autant la valeur instantanée de 50Hz n’est pas un étalon confirmé, autant sur le long terme EDF garanti une valeur moyenne très précise. Ainsi, les programmateurs électromécaniques, les réveils synchronisés par le secteur, tous ces dispositifs cadencés par le réseau sont fiables dans le temps et ne perdent pas l’heure … sauf si la foudre a fait sauter votre disjoncteur !

Les fractions : Une histoire de lobes.

Reprendre la page des options et tourner le bouton du potentiomètre jusqu’à la limite correspondant à la fréquence la plus élevée. Une autre « butée » informatique impose la valeur précise de 250Hz le multiple de cinq de la vibration alternative du réseau électrique. La Fig.98 met bien en évidence le fait qu’une alternance horizontale correspond à  cinq « lobes » verticaux. Le rapport des fréquences FY / Fx = 5. Il ne faudrait pas déduire de toutes ces manipulations que les figures de Lissajous ne sont interprétables aisément que si le rapport entre les deux fréquences est obligatoirement un entier, bien au contraire.
L’observation des lobes « verticaux » et horizontaux nous fournit directement la valeur du rapport FY / Fx.
Pour comprendre la simplicité d’interprétation des tortillons, imposez comme fréquence de référence la valeur exacte de 75Hz. Le résultat est affiché sur la Fig.99 pour laquelle le NIVEAU de SINUS a été légèrement augmenté pour obtenir une déviation verticale qui exploite mieux la surface de l’écran. Trois lobes sur Y, deux sur X, donc
FY / Fx = 3 / 2. C’est aussi simple que ça. On peut également utiliser cette propriété dans l’autre sens :
Rapport 3 / 2 avec Fx = 50Hz. Donc FY  = (3 / 2) x 50 = 75Hz, un autre moyen facile d’évaluer une fréquence.

Poisson d’Avril !

Tradition amusante dont les origines restent confuses, nous avons tous un jour ou l’autre été porteurs innocents de ce petit poisson gentillet accroché discrètement dans le dos. Cette coutume pratiquée le premier Avril laisse des traces dans les tortillons graphiques de PICOSYNTHÉ, sauf que dans notre cas c’est toute l’année que nous pouvons être victime de cette plaisanterie sans méchanceté. Sans rien changer à la configuration qui aboutit au graphe de la Fig.99, patientez et observez l’écran. Si le tracé se déforme par déphasage, on arrive à un moment au poisson de la Fig.100 qui a été figée volontairement au moment où les deux lignes repérées par les index verts sont encore décalées. On peut de cette image déduire que verticalement il y a trois lobes. Supposons maintenant que les fréquences et le déphasage soient rigoureusement constants, et que de plus le déphasage soit tel que les zones pointées en verts se superposent exactement comme celles repérées par les index rouges. On en déduirait qu’il y a deux lobes sur Y et deux sur X et que le rapport FY / Fx = 2 / 2 = 1, donc que  FY = Fx.

Devenus des experts en art Lissajoussien, vous sauriez immédiatement qu’il s’agit d’un faux et non d’un original, car FY = Fx ne peut tracer que des ellipses ou des diagonales. Du reste, pour conforter notre expertise, nous allons compléter ces griboulleries électroniques par une manipulation élémentaire qui consiste à injecter sur X et Y des ondes strictement synchrones. Reliez l’entrée Y par le signal issu de SINUS ∼. Branchez également cette sortie sur l’entrée de l’étage Amplif. Quelle que soit la valeur de la fréquence que l’on consignera désormais dans la page des options dont l’appel se fait avec FC+ court, on obtiendra le dessin de la Fig.101 avec une diagonale montante vers la droite puisque les deux signaux sont strictement en phase. Logiquement, la ligne ne devrait pas se dédoubler et représenter une droite parfaite. On peut en déduire que la présence d’Amplif. engendre un très faible déphasage, le trait rectiligne dégénérant ainsi en une ellipse très plate. On « retourne la chaussette », c’est à dire que maintenant on débranche l’entrée d’Amplif. pour la connecter à la sortie complémentaire SINUS ∼. Comme les signaux sont actuellement en opposition de phase, la diagonale de la Fig.102 « monte vers la gauche« . Si l’on observe encore un léger déphasage, la forme de la trace est d’une stabilité de marbre. La forme, pas les pointillés ! Pour saisir la subtilité de cette affirmation, titillez avec finesse le bouton du potentiomètre « des options » pour obtenir exactement 170Hz. L’ellipse est toujours celle de deux ondes en opposition de phase, avec un déphasage légèrement plus grand à cette fréquence. Compte tenu des relations temporelles qui gouvernent le programme, dans cette configuration les pointillés tournent inlassablement comme le petit train électrique sur ses rails. Comme le programme « tourne » avec une célérité piloté par quartz, ce déphasage temporel entre la saisie des échantillons et la « position » sur la sinusoïde est régulier. Vous pouvez observer et chronométrer ce comportement à n’importe quel moment de la journée ou de la nuit, le temps nécessaire pour qu’un espace boucle un circuit complet est toujours identique. Cette particularité résulte de la précision en fréquence de l’onde générée par le circuit AD9850, et le déroulement immuable du logiciel cadencé par une horloge à quartz de fréquence élevée. C’est la stabilité du roc dans le mouvement si l’on peut exprimer ainsi cette régularité.

Comme le répète souvent une célèbre humoriste dans ses sketch, « on ne nous dit pas tout« . C’est assez vrai dans ces chapitres, car il reste encore bien des détails à observer, des constats à repérer, des particularités à souligner. Alors le jeu n’est pas terminé. Revenez sur X ou Y à la référence fournie par le réseau électrique, et sur l’autre entré le signal produit par l’AD9850. Avec FC+ court, dans la page des options imposez des valeurs quelconques, des fréquences qui ne sont pas en « fractions entières ». Regardez avec attention la forme des traces, leur rapidité d’évolution. En bref, forgez-vous une expérience solide, elle ne pourra que vous être favorable, ne serait-ce que pour votre culture technique … ou artisticoélectrinicoinformatictictac.

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